Question

16．已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0；
（1）若不等式的解集為（2，3），求實數(shù)k的值；
（2）若k＞0，且不等式對一切2＜x＜3都成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得2和3是相應(yīng)方程kx²-2x+6k=0的兩根且k＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）設(shè)f（x）=kx²-2x+6k，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)把問題化為$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）不等式kx²-2x+6k＜0的解集為（2，3），
所以2和3是方程kx²-2x+6k=0的兩根且k＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，2+3=$\frac{2}{k}$，
解得k=$\frac{2}{5}$；
（2）令f（x）=kx²-2x+6k，
則原問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4k-4+6k≤0}\\{9k-6+6k≤0}\end{array}\right.$，
解得k≤$\frac{2}{5}$，
又k＞0，
所以實數(shù)k的取值范圍是0＜k≤$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了一元二次不等式與與相應(yīng)的一元二次方程以及二次函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．