Question

7．已知直線y=kx+2與橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=90°．求該直線的方程．（寫(xiě)成斜截式）

Answer 1

分析 直線l的方程為y=kx+2，與橢圓C方程聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：直線l的方程為y=kx+2，與橢圓C方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得k²$＞\frac{3}{4}$．①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=0，
∴x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，即（1+k²）x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4=0，
整理得k²=4，
解得k=±2，滿足①．
∴直線l的方程為y=±2x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．