Question

四棱錐的正視圖和俯視圖如圖，其中俯視圖是直角梯形．
（I ）若正視圖是等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動(dòng)時(shí)，是否總有BF丄CM，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（II）若平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明，可得BF丄CM．
（II）求出平面ADE的法向量、平面ABC的法向量，利用平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，可得求出平面ABE的法向量，計(jì)算，即可得到直線AD與平面ABE所成角的正弦值．
解答：解：（I ）若正視圖是等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動(dòng)時(shí)，總有BF丄CM．
取BC中點(diǎn)O，連接AO，由俯視圖可知，AO⊥面BCDE，取DE中點(diǎn)H，連接OH，OH⊥BC
以O(shè)C、OH、OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0）
∴F（）
設(shè)M（x，2x，（1-x）），
∴，
∴，
∴BF丄CM．
（II）D（1，2，0），設(shè)A（0，0，a）（a＞0），∴
設(shè)平面ADE的法向量為，∴
∴，∴可取
∵平面ABC的法向量為
∴
∵平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，
∴，解得
設(shè)平面ABE的法向量為，
∵
∴
∴，
∴可取
∴
∴直線AD與平面ABE所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)換，考查線線垂直，考查直線與平面的所成角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．