Question

19．已知p：?x＞0，e^x-ax＜1成立，q：函數(shù)f（x）=-（a-1）^x是減函數(shù)，則p是q的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究p的單調(diào)性可得a＞0．q：函數(shù)f（x）=-（a-1）^x是減函數(shù)，則a-1＞1，解得a＞2．即可判斷出結(jié)論．

解答 解：p：?x＞0，e^x-ax＜1成立，則a$＞\frac{{e}^{x}-1}{x}$，令f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，則f′（x）=$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$．
令g（x）=e^xx-e^x+1，
則g（0）=0，g′（x）=xe^x＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．
q：函數(shù)f（x）=-（a-1）^x是減函數(shù)，則a-1＞1，解得a＞2．
則p是q的必要不充分條件．
故選：B．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．