Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x+a-1|+|x-2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求證：f（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論a的范圍得到關(guān)于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（Ⅰ） 因為f（1）＜3，所以|a|+|1-2a|＜3．
①當(dāng)a≤0時，得-a+（1-2a）＜3，
解得$a＞-\frac{2}{3}$，所以$-\frac{2}{3}＜a≤0$； 
②當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，得a+（1-2a）＜3，
解得a＞-2，所以$0＜a＜\frac{1}{2}$； 
③當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時，得a-（1-2a）＜3，
解得$a＜\frac{4}{3}$，所以$\frac{1}{2}≤a＜\frac{4}{3}$；    
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是$（{-\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$．
（Ⅱ） 因為a≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a-1|+|x-2a|≥|（x+a-1）-（x-2a）|=|3a-1|=3a-1≥2．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的意義，是一道中檔題．