Question

13．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），在[-1，3]上，f（x）=x²，定義在R上的函數(shù)g（x）滿足 g（2+x）=g（2-x），g（6+x）=g（6-x），且當(dāng)2≤x≤6時，g（x）=2-$\frac{1}{2}$x，設(shè)F（x）=f（x）+g（x），求F（2033）．

Answer 1

分析 由f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）可推出f（x+8）=f（x），從而解得f（2033）．

解答 解：f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），在[-1，3]上，f（x）=x²，
∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），
∴f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$；
∴f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x+2）}$
=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$；
∴f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x）；函數(shù)的周期是8，
故f（2033）=f（254×8+1）=f（1）=1；
定義在R上的函數(shù)g（x）滿足 g（2+x）=g（2-x），g（6+x）=g（6-x），
當(dāng)2≤x≤6時，g（x）=2-$\frac{1}{2}$x，
可得g（x）=g（4-x）=g（12-x），
可得g（x）=g（8+x），g（x）的周期為8．
g（2033）=g（254×8+1）=g（1）=g（3）=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$．
F（x）=f（x）+g（x），F(xiàn)（2033）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．