Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{{{{（x+1）}^2}}}{2}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x∈（-1，+∞）時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，得到f（x）遞增，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-$\frac{{{{（x+1）}^2}}}{2}$，f（1）=e-2，
f′（x）=e^x-（x+1），f′（1）=e-2，
∴切線方程是：y-e+2=（e-2）（x-1），
即y=（e-2）x；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-（x+1），f″（x）=e^x-1，（x＞-1），
令f″（x）＞0，解得：x＞0，令f″（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f′（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增，
∴f（x）＞f（-1）=$\frac{1}{e}$＞0．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．