Question

18．已知定義在R上的偶函數g（x）滿足g（x）+g（2-x）=0，函數f（x）=$\sqrt{1-{x^2}}$的圖象是g（x）的圖象的一部分．若關于x的方程g²（x）=a（x+1）²有3個不同的實數根，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{8}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$）
• C． （$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，+∞）
• D． （2$\sqrt{2}$，3）

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的周期性，求出函數在一個周期內的圖象，將方程g²（x）=a（x+1）²有3個不同的實數轉化為g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有3個交點，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數g（x）滿足g（x）+g（2-x）=0，
∴g（x）=-g（2-x）=-g（x-2），
則g（x+2）=-g（x），即g（x+4）=-g（x+2）=-（-g（x））=g（x），
則函數g（x）是周期為4的周期函數，
函數f（x）=$\sqrt{1-{x^2}}$的定義域為[-1，1]，
若1≤x≤2，則-2≤-x≤-1，則0≤2-x≤1，此時g（x）=-g（2-x）=-$\sqrt{1-（2-x）^{2}}$，
當-2≤x≤-1，則1≤-x≤2，則g（x）=g（-x）=-$\sqrt{1-（2+x）^{2}}$
則由g²（x）=a（x+1）²得，
當-2≤x≤-1時，1-（x+2）²=a（x+1）²，
作出函數g（x）的圖象如圖：
若方程g²（x）=a（x+1）²有3個不同的實數根，
則當a≤0時，不滿足條件．
則當a＞0時，
方程等價為g（x）=±$\sqrt{a（x+1）^{2}}$=$±\sqrt{a}$|x+1|，
則當x=-1時，方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|恒成立，此時恒有一解，
當直線y=-$\sqrt{a}$（x+1）與g（x）在（-4，-3）相切時，此時方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有6個交點，不滿足條件．
當y=-$\sqrt{a}$（x+1）與g（x）在（-4，-3）不相切時，滿足方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有三個交點，
此時直線方程為$\sqrt{a}$x+y+$\sqrt{a}$=0，滿足圓心（-4，0）到直線$\sqrt{a}$x+y+$\sqrt{a}$=0，的距離d=$\frac{|-4\sqrt{a}+\sqrt{a}|}{\sqrt{a+1}}$＞1，
即$\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}$＞1，即3$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a+1}$，平方得9a＞a+1，得8a＞1，則a＞$\frac{1}{8}$，
故選：A

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用條件判斷函數的周期性，求出函數在一個周期內的圖象，利用轉化法和數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．