Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點。

（1）證明：AE⊥平面PBC；
（2）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）證明：如圖，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB 又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形， 而點E是棱PB的中點，所以AE⊥PB 由題意知BC⊥AB， 又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影， 由三垂線定理，得BC⊥PB， 從而BC⊥平面PAB， 故BC⊥AE 因AE⊥PB，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC。 （2）由（1）知BC⊥平面PAB， 又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE， 在Rt△PAB中，， 從而在Rt△DAE中， 在Rt△CBE中， 又， 所以△CED為等邊三角形 取CE的中點F，連接DF，則DF⊥CE 因BE=BC=1，且BC⊥BE，則△EBC為等腰直角三角形， 連接BF，則BF⊥CE， 所以∠BFD為所求的二面角的平面角 連接BD，在△BFD中， 所以 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值為。