Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
（I）若直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得弦長最短，求此時(shí)直線l的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程；
（II）M（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求得圓心C（1，-1），要使直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得弦長最短，則OC⊥l，故可求；
（Ⅱ）設(shè)M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ為參數(shù)，則x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)，故可求x+y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0
∴x²+y²-2x+2y-2=0
∴（x-1）²+（y+1）²=4
∴圓心C（1，-1），
∴k_OC=-1，
∵直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得弦長最短，
∴直線l斜率為1，
∴參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

，t為參數(shù)
（Ⅱ）設(shè)M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ為參數(shù)，
則x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)
∵-1≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴-2

2

≤2 

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

∴x+y的最大值為2

2

．

點(diǎn)評：本題以曲線的極坐標(biāo)方程為載體，考查圓的方程，考查圓的參數(shù)方程，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．