A，B是拋物線(xiàn)y2=4ax（a＞0）上的兩動(dòng)點(diǎn)，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．
分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)AB的方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合垂直關(guān)系，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．
解答：解：設(shè)P（x0，y0），則kOP=
y0
x0
，kAB=-
x0
y0
，直線(xiàn)AB方程是y=-
x0
y0
（x-x0）+y0．
由y2=4ax可得x=
y2
4a
，將其代入上式，整理得
x0y2-（4ay0）y-4ay02-4ax02=0．①
此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
根據(jù)韋達(dá)定理得，由①可得y1•y2=
-4a(x02+y02)
x0
，
又∵A、B在拋物線(xiàn)上，∴A（
y12
4a
，y1）、B（
y22
4a
，y2）．
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．
∴
4a
y1
•
4a
y2
=-1．
∴y1y2=-16p2．
∴
4a(x02+y02)
x0
=16p2．
化簡(jiǎn)得x02+y02-4ax0=0，即x2+y2-4ax=0（除去原點(diǎn)）為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B是拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，則“
OA
•
OB
=0”是“直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）”的（　　）
A、充分非必要條件
B、充要條件
C、必要非充分條件
D、非充分非必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

A，B是拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB．
（1）求A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；
（2）求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[理]已知A、B是拋物線(xiàn)y2=4x上兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的最大距離為（　　）
A、2B、3C、4D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A、B是拋物線(xiàn)y2=x上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OA⊥OB，則直線(xiàn)AB必過(guò)定點(diǎn)
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線(xiàn)y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線(xiàn)l1，與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線(xiàn)l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線(xiàn)AB的斜率；
（2）問(wèn)題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線(xiàn)Γ，過(guò)該圓錐曲線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線(xiàn)l1、l2相交于圓錐曲線(xiàn)Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線(xiàn)AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線(xiàn)段AB（不平行于y軸）的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

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