Question

19．已知函數(shù)y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，求該函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為（y-9）x²-6x+y-1=0，討論y=9，y≠9時(shí)，由于x∈R，可得△≥0，解關(guān)于y的二次不等式，可得最值，求出相應(yīng)x的值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，
可化為yx²+y=9x²+6x+1，
即有（y-9）x²-6x+y-1=0，
當(dāng)y=9時(shí)，解得x=$\frac{4}{3}$；
當(dāng)y≠9時(shí)，由于x∈R，可得
△≥0，即36-4（y-9）（y-1）≥0，
解得0≤y≤10．
則當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值0；
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意轉(zhuǎn)化為二次方程有解，運(yùn)用判別式法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．