19．已知函數(shù)y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，求該函數(shù)的最大值和最小值．

分析 將函數(shù)化為（y-9）x2-6x+y-1=0，討論y=9，y≠9時，由于x∈R，可得△≥0，解關于y的二次不等式，可得最值，求出相應x的值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{9x}^{2}+6x+1}{{x}^{2}+1}$，
可化為yx2+y=9x2+6x+1，
即有（y-9）x2-6x+y-1=0，
當y=9時，解得x=$\frac{4}{3}$；
當y≠9時，由于x∈R，可得
△≥0，即36-4（y-9）（y-1）≥0，
解得0≤y≤10．
則當x=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)取得最小值0；
當x=3時，函數(shù)取得最大值10．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意轉化為二次方程有解，運用判別式法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

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