Question

已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)； 
(Ⅱ) ①當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
②當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.
③當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是. 
④當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（Ⅲ）。

解析試題分析：.（Ⅰ），解得.  2分                             
（Ⅱ）.
①當(dāng)時，，，
在區(qū)間上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.      3分
②當(dāng)時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.  4分
③當(dāng)時，， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.  5分
④當(dāng)時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.   6分
（Ⅲ）由已知，在上有.        8分              
由已知，，                   9分
由（Ⅱ）可知，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
故，
所以，，解得，故.     11分
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故.
由可知，，，
所以，，， 綜上所述，.       14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。
點(diǎn)評：當(dāng)含有參數(shù)時，我們也可以通過解不等式來得到單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）區(qū)間，這樣問題就轉(zhuǎn)化為解含參不等式。解含參不等式主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想是分類討論，常討論的有：開口方向，兩個的大小，和判別式∆，討論時要不重不漏。