Question

19．已知0＜a＜$\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0，cos（{α-β}）=-\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，則sinβ=（　　）

• A． $\frac{7}{25}$
• B． $-\frac{7}{25}$
• C． $\frac{24}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$，代入兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可求sinβ的值．

解答 解：∵0＜a＜$\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}＜β＜0，cos（{α-β}）=-\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{4}{3}$，
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{3}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$，
∴由cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{3}{5}$，可得：$\frac{3}{5}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$+$\frac{4}{5}$sinβ=-$\frac{3}{5}$，
∴整理可得：25sin²β+24sinβ=0，
∴解得：sinβ=-$\frac{24}{25}$，或0（舍去）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．