Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知t為實(shí)數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最小值；
（Ⅲ）定義在區(qū)間D上的函數(shù)g（x），若存在區(qū)間[a，b]⊆D及實(shí)常數(shù)m，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，g（x）的取值范圍恰為[a+m，b+m]，則稱(chēng)區(qū)間[a，b]為g（x）的一個(gè)同步偏移區(qū)間，m為同步偏移量．試問(wèn)函數(shù)y=[f（x）+x]（x²-1）在（1，+∞）上是否存在同步偏移區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)同步偏移區(qū)間及對(duì)應(yīng)的偏移量，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)切線的斜率就是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，這一問(wèn)不難求出．
（Ⅱ）t取值的不同決定著f（x）取到的最小值，所以討論t便可．
（Ⅲ）根據(jù)同步偏移區(qū)間的定義，先求出所給函數(shù)的取值范圍，讓這組范圍的兩個(gè)端點(diǎn)值分別和區(qū)間[a+m，b+m]的兩個(gè)端點(diǎn)值相等，便得出兩組等式，去驗(yàn)證這兩組等式是否成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f（1）=e-1，f′（x）=e^x-1；
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=e-1；
∴切線方程為y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x；
（Ⅱ）令f'（x）=e^x-1=0，得x=0；
所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
所以：（1）當(dāng)t+2≤0，即t≤-2時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，所以，f（x）的最小值是f（t+2）=e^t+2-t-2；
（2）當(dāng)t＜0，且t+2＞0，即-2＜t＜0時(shí)，f（x）在[t，0）上單調(diào)遞減，在（0，t+2]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值是f（0）=1；
（3）當(dāng)t≥0時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值是f（t）=e^t-t．
（Ⅲ）函數(shù)y=[f（x）+x]（x²-1）在（1，+∞）上不存在同步偏移區(qū)間 …（10分）
證明如下：
假設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）+x]（x²-1）=（x²-1）e^x存在同步偏移區(qū)間[a，b]；
則g′（x）=（x²+2x-1）e^x；
∵x＞1時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以g（x）的取值范圍是：[（a²-1）e^a，（b²-1）e^b]；根據(jù)同步平移區(qū)間，則有：（a²-1）e^a=a+m，（b²-1）e^b=b+m；
所以方程（x²-1）e^x=x+m有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根；
設(shè)φ（x）=（x²-1）e^x-x-m（x＞1），則φ′（x）=（x²+2x-1）e^x-1；
∵x＞1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴φ（x）在區(qū)間（1，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)；
這與方程（x²-1）e^x=x+m有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾；
∴假設(shè)不成立，即g（x）在（1，+∞）上不存在同步偏移區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：1．切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)要熟記．
2．掌握利用導(dǎo)數(shù)解決求函數(shù)最值問(wèn)題的一般過(guò)程．
3．至于第三問(wèn)，要理解同步偏移量是什么回事，在不好確定同步平移空間時(shí)，可假定存在，在驗(yàn)證所得等式即可．