Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx，，其中a∈R．
（1）令，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)的運算法則求出h^′（x），通過分類討論a即可得出其單調(diào)性；
（2）由已知對任意的，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），令，可得y=F（x）在區(qū)間（e，e²）上為增函數(shù)．于是F'（x）=alnx+x-1≥0，對x∈（e，e²）恒成立，通過分離參數(shù)，利用導數(shù)求出最值即可．
解答：解：（1）∵，（x＞0）．
∴．
①當a≤0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）；
②當0＜a＜1時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，a），（1，+∞），遞減區(qū)間為（a，1）；
③當a=1時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
④當a＞1時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（a，+∞），遞減區(qū)間為（1，a）．
（2）對任意的，總有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）
令，
由題意得y=F（x）在區(qū)間（e，e²）上為增函數(shù)．
∴F'（x）=alnx+x-1≥0，對x∈（e，e²）恒成立，
所以對x∈（e，e²）恒成立，
令，
則，
所以ϕ（x）在區(qū)間（e，e²）上單調(diào)遞減，
所以ϕ（x）＜ϕ（e）=1-e，
所以a≥1-e． 
所以a≥1-e． …（10分）
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、分析問題和解決問題的能力、推理能力與計算能力．