Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{x^2}$為奇函數(shù)，且f（1）=1．
（Ⅰ）求實數(shù)a與b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=$\frac{1-f（x）}{x}$，設{a_n}為正項數(shù)列，且當n≥2時，[g（a_n）•g（a_n-1）+$\frac{{{a_n}+{a_{n-1}}-1}}{{{a_n}^2•{a_{n-1}}^2}}$]•a_n²=q，（其中q≥2016），{a_n}的前n項和為S_n，b_n=$\sum_{i=1}^n{\frac{{{S_{i+1}}}}{S_i}}$，若b_n≥2017n恒成立，求q的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{x^2}$為奇函數(shù)，且f（1）=1，代入計算求實數(shù)a與b的值；
（Ⅱ）b_n≥2017n恒成立，即：$\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$≥2017n恒成立，分類討論，即可求q的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）為奇函數(shù)，$\frac{-ax+b}{x^2}=-\frac{ax+b}{x^2}$，
得b=0，又f（1）=1，得a=1；
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{x}$，得$g（x）=\frac{x-1}{x^2}$，且$[g（{a_n}）•g（{a_{n-1}}）+\frac{{{a_n}+{a_{n-1}}-1}}{{{a_n}^2•{a_{n-1}}^2}}]•{a_n}^2=q$，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=q（n≥2）$∴${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}$，∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$．
由：${b_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{{{S_{i+1}}}}{S_i}}=\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$（q≥2016），
∵b_n≥2017n恒成立，即：$\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$≥2017n恒成立，
當q≥2016時，∵$\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}=\frac{{\frac{1}{q^n}-q}}{{\frac{1}{q^n}-1}}=\frac{q-1}{{1-\frac{1}{q^n}}}+1$，
再由復合函數(shù)單調(diào)性知，數(shù)列$\{\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}\}$為單調(diào)遞減數(shù)列，
且n→∞時，$\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}=\frac{{\frac{1}{q^n}-q}}{{\frac{1}{q^n}-1}}→q$，
當q≥2017時，$\{\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}\}$中的每一項都大于2017，
∴$\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$≥2017n恒成立；
當q∈[2016，2017）時，數(shù)列$\{\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}\}$為單調(diào)遞減數(shù)列，
且n→∞時，$\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}=\frac{{\frac{1}{q^n}-q}}{{\frac{1}{q^n}-1}}→q$，而q＜2017，
說明數(shù)列$\{\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}\}$在有限項后必定小于2017，設$\frac{{1-{q^{r+1}}}}{{1-{q^r}}}=2017+{M_r}（r=1，2，3，…，n）$，
且數(shù)列{M_n}也為單調(diào)遞減數(shù)列，M₁≥0．
根據(jù)以上分析：數(shù)列$\{\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}\}$中必有一項（設為第k項）$\frac{{1-{q^{k+1}}}}{{1-{q^k}}}=2017+{M_k}$，
（其中M_k≥0，且M_k+1＜0）
∴$\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}=\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{k+1}}}}{{1-{q^k}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}$
=2017n+M₁+M₂+…+M_k+M_k+1+…+M_n（∵{M_n}為單調(diào)遞減數(shù)列）
≤2017n+kM₁+M_k+1+…+M_n≤2017n+kM₁+（n-k）M_k+1，
當n→∞時，kM₁+（n-k）M_k+1＜0，∴$\frac{{1-{q^2}}}{1-q}+\frac{{1-{q^3}}}{{1-{q^2}}}+…+\frac{{1-{q^{n+1}}}}{{1-{q^n}}}＜2017n$，
∴q∈[2016，2017）時，不滿足條件．
綜上所得：q_min=2017．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)列求和，考查分類討論的數(shù)學思想，難度大．