Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$的圖象在區(qū)間$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均單調(diào)遞增，則正數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$
• B． $[{\frac{5π}{12}，π}]$
• C． $[{\frac{π}{4}，π}]$
• D． $[{\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}}]$

Answer 1

分析 求解出函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)在區(qū)間$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均單調(diào)遞增建立關(guān)系可得答案．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
當(dāng)k=0時(shí)，可得增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∵在區(qū)間$[{0，\frac{a}{3}}]$和$[{2a，\frac{4π}{3}}]$上均單調(diào)遞增
則$\frac{a}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴0＜a≤π．
當(dāng)k=1時(shí)，可得增區(qū)間為[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
則2a$≥\frac{5π}{6}$，
∴a$≥\frac{5π}{12}$．
綜上可得：π≥a$≥\frac{5π}{12}$．
故選B

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．