請使用向量法證明：等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且|BD|=
1
3
|BC|，|CE|=
1
3
|CA|，AD，BE相交于點P，求證：AP⊥CP．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由于B，P，E三點共線，根據(jù)共線定理可得：存在實數(shù)λ使得
AP
=(1-λ)
AB
+λ
AE
=(1-λ)
AB
+
2
3
λ
AC
．同理A，P，D三點共線，可得存在實數(shù)μ使得
AP
=μ
AD
．化簡整理，再根據(jù)平面向量基本定理可得λ，μ．利用三角形法則可得
CP
=
CD
+
DP
．根據(jù)平面向量基本定理，把
AP
，
CP
都用
AB
，
AC
表示，再利用數(shù)量積運算即可得出．
解答： 解：∵B，P，E三點共線，∴存在實數(shù)λ使得
AP
=(1-λ)
AB
+λ
AE
=(1-λ)
AB
+
2
3
λ
AC
．
∵A，P，D三點共線，∴存在實數(shù)μ使得
AP
=μ
AD
，
又
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+
1
3
BC
=
AB
+
1
3
(
BA
+
AC
)=
2
3
AB
+
1
3
AC
，
∴
AP
=
2
3
μ
AB
+
1
3
μ
AC
．
根據(jù)平面向量基本定理可得：
1-λ=
2
3
μ
2λ
3
=
1
3
μ
，解得
λ=
3
7
μ=
6
7
．
∴
AP
=
6
7
AD
．
∴
AP
=
4
7
AB
+
2
7
AC
．
∴
CP
=
CD
+
DP
=
2
3
CB
+
1
7
DA
=
2
3
(
AB
-
AC
)+
1
7
(-
2
3
AB
-
1
3
AC
)=
4
7
AB
-
5
7
AC
．
不妨設(shè)AB=AC=2，則
AB
•
AC
=|
AB
||
AC
|cos60°=2×2×
1
2
=2．
∴
AP
•
CP
=(
4
7
AB
+
2
7
AC
)•（
4
7
AB
-
5
7
AC
）
=
2
49
(8
AB
2-5
AC
2-6
AB
•
AC
)
=
2
49
(8×22-5×22-6×2)
=0．
∴
AP
⊥
CP
．
即AP⊥CP．
點評：本題考查了向量三角形法則、向量共線定理、平面向量基本定理、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
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1
x
+
1
1-x
的最小值．

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2
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2
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2
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．

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．

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．

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