Question

16．直線y=x，曲線y²=4x所圍圖形的面積是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定積分的幾何意義，選擇合適的積分形式．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則直線y=x，曲線y²=4x交點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），（4，4），
∴直線y=x，曲線y²=4x所圍圖形的面積S，
對(duì)y積分，S=${∫}_{0}^{4}$（y-$\frac{{y}^{2}}{4}$）dy=（$\frac{1}{2}$y²-$\frac{{y}^{3}}{12}$）${丨}_{0}^{4}$=$\frac{8}{3}$，
對(duì)x積分：S=${∫}_{0}^{4}$（$2\sqrt{x}$-x）dx=（$\frac{4}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²）${丨}_{0}^{4}$=$\frac{8}{3}$，

故答案為：$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的幾何意義，考查積分的運(yùn)算，選擇合適的積分形式，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．