Question

9．將函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）的圖象向左平移$\frac{π}{4ω}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱且在區(qū)間（-ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，則ω的值為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{π}}}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{π}}}{2}$
• D． $\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)圖象的平移得到g（x），結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸即可求出ω的值

解答 解：g（x）=f（x+$\frac{π}{4ω}$）=sinω（x+$\frac{π}{4ω}$）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（-ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞0
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{2kπ-\frac{3}{4}π}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$]，k∈Z，
∴可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3}{4}π}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，
∴解得：0＜ω²≤$\frac{3π}{4}$且0＜ω²≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得：-$\frac{1}{8}$＜k＜$\frac{3}{8}$，k∈Z，
∴k=0，
又∵由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，
∴由函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱，可得：ω²=$\frac{π}{4}$，可解得：ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確確定k的值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．