Question

（文）拋物線y²=4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

1

x1

+

1

x2

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：設出過P的直線方程，通過聯(lián)立方程組，利用韋達定理推出A、B兩點的橫坐標的和與積，化簡

1

x1

+

1

x2

，即可求出最小值．

解答：解：設過點P（4，0）的直線為：x=my+4，
直線與拋物線相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以，

x=my+4 y2=4x

，
即x²-（4m²+8）x+16=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=4m²+8，x₁•x₂=16，
所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

4m2+8

16

≥

1

2

    m=0時等號成立．

1

x1

+

1

x2

的最小值是：

1

2

．

點評：本題考查拋物線與直線的位置關系，注意直線的設法，是本題的解題的技巧，避免直線方程的討論；如果設為y=kx-4k，往往容易疏忽直線的斜率不存在的情況．值得同學借鑒，考查計算能力．