Question

4．如圖，AB為圓O的直徑，P是AB延長線上一點，割線PCD交圓O于C，D兩點，過點P作AP的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F．
（1）證明：F、E、C、D四點共圓；
（2）若AP=10，BP=2，CP=3，求sin∠DPF的值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由對應(yīng)角相等可得△ADB∽△APF，由相似三角形的性質(zhì)和四點共圓的判定：對角互補，即可得證；
（2）由圓的割線定理可得，PB•PA=PC•PD，結(jié)合條件求得PD，OD，連接OD，在△POD中運用余弦定理，可得cos∠DPO，再由誘導(dǎo)公式即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：連接BD，
由AB為直徑，可得∠ADB=90°，
由∠APF=∠ADB=90°，
且∠DAB=∠PAF，
可得△ADB∽△APF，
即有∠ABD=∠AFP，
又∠ACD=∠ABD，
可得∠ACD=∠AFP，
即∠DCE+∠DFE=180°，
可得F、E、C、D四點共圓；
（2）AP=10，BP=2，CP=3，
由圓的割線定理可得，PB•PA=PC•PD，
即為2×10=3PD，
即PD=$\frac{20}{3}$．
PA=PB+AB，即AB=PA-PB=10-2=8．
可得OD=4，
連接OD，在△POD中，PO=6，PD=$\frac{20}{3}$，OD=4，
由余弦定理可得cos∠DPO=$\frac{P{D}^{2}+P{O}^{2}-O{D}^{2}}{2PD•PO}$
=$\frac{\frac{400}{9}+36-16}{2×\frac{20}{3}×6}$=$\frac{29}{36}$．
則sin∠DPF=sin（90°-∠DPO）=cos∠DPO=$\frac{29}{36}$．

點評 本題考查圓的割線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，考查四點共圓的判定，注意運用對角互補，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．