Question

15．如圖，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點P，點P在平面DEF上的射影點為H．
（1）求證：B、H、D三點共線；
（2）求二面角P-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，連接BD交EF于點G，PG．可得：BD⊥EF，點G是EF的中點．利用線面垂直的判定定理可得PD⊥平面PEF，進而得到EF⊥平面PDG，平面PDG⊥平面ABCD．過點P作PH⊥平面ABCD，垂足為H，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明．
（2）不妨設(shè)AB=2．可得PE⊥PF．可得：∠PGB是二面角P-EF-B的平面角．∠PGD是其補角．利用“等體積法”可得PH．進而得出．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，連接BD交EF于點G，PG．
可得：BD⊥EF，點G是EF的中點．
∵PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF，EF?平面PEF，
∴PD⊥EF．
∴EF⊥PD，
∴EF⊥平面PDG．
∴平面PDG⊥平面ABCD．
過點P作PH⊥平面ABCD，垂足為H，
∴PH⊥DG，且點H在BD上，
∴B、H、D三點共線．
（2）解：不妨設(shè)AB=2．
由PE²+PF²=1+1=2=EF²，∴PE⊥PF．
∴PG=BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由（1）可得：∠PGB是二面角P-EF-B的平面角．
∠PGD是其補角．
S_△DEF=S_{正方形ABCD}-2S_△ADE-S_△BEF
=2²-2×$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
S_△PEF=$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵V_D-PEF=V_P-DEF，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△PEF}$×PD=$\frac{1}{3}×$S_△DEF×PH，
∴PH=$\frac{\frac{1}{2}×2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
GH=$\sqrt{P{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$
在Rt△PGH中，cos∠PGH=$\frac{GH}{PG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∴cos∠PGB=$-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、三棱錐的體積計算公式、勾股定理，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．