Question

7．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，CE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，且EC⊥平面ABCD．
（1）求證：DE=BE；
（2）求面ABF與面EBC所成二面角的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BC，BC=AD=CD=1，由此能證明DE=BE．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面ABF與面EBC所成二面角的余弦值．

解答 證明：（1）在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
∴BC=AD=1，AB=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴CD=1，
∴DE=BE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{22}}{4}$．
∴DE=BE．
解：（2）∵EC⊥平面ABCD，AC⊥BC，
∴以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{4}$），
設(shè)平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{6}}{4}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，$\sqrt{6}$），
平面EBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)面ABF與面EBC所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{18}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴面ABF與面EBC所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查兩條線段長相等的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．