Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$且g（x）=f（x）-mx在（0，2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx=0，即f（x）=mx，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$的圖象如圖所示．
m∈（0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，y=mx與圖象兩支有兩個(gè)交點(diǎn)，
m＜0時(shí)，由0＜x≤1，$\frac{1}{x}$-3=mx，即mx²+3x-1=0，
方程有兩解時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{9+4m＞0}\\{0＜-\frac{3}{2m}≤1}\\{m+2≤0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{9}{4}$＜m≤-2，
綜上所述，（-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．