Question

如圖，在區(qū)間[0，1]上給定曲線y=x²，試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值，使圖中陰影部分的面積S₁+S₂最�。�

Answer 1

分析：先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S₁與S₂，然后求出S₁+S₂關(guān)于t的函數(shù)解析式和定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答：解：S1=t•t2-

∫

t 0

x2dx=

2

3

t3，
S2=

∫

1 t

x2dx-t2(1-t)=

2

3

t3-t2+

1

3

…（4分）
∴S=S1+S 2=

4

3

t3-t2+

1

3

(0＜t≤1)…（6分）
S′(t)=4t2-2t=4t(t-

1

2

)
令S′（t）=0，得t=

1

2

或t=0（舍去）
當(dāng)0＜t＜

1

2

時(shí)，S′（t）＜0；當(dāng)

1

2

＜t≤1時(shí)，S′（t）＞0；
∴當(dāng)t∈(0，

1

2

]時(shí)，S（t）為減函數(shù)，當(dāng)t∈(

1

2

，1]時(shí)，S（t）為增函數(shù)…（10分）
所以，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，Smin=S(

1

2

)=

1

4

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)最值，屬于中檔題．