Question

如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則橢圓的離心率是①

|PF|

|PD|

；②

|QF|

|BF|

；③

|AO|

|BO|

；④

|AF|

|AB|

；⑤

|FO|

|AO|

，其中正確的是

①②③④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），進(jìn)而根據(jù)這個(gè)方程分別給出5個(gè)式子關(guān)于a、b、c的表示式，將化簡(jiǎn)計(jì)算出的結(jié)果與離心率e的表達(dá)式比較，可得答案．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依次分析5個(gè)比值的式子可得：
①根據(jù)橢圓的第二定義，可得

|PF|

|PD|

=e，符合題意；
②根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，且|QF|=

b2

a

，則

|QF|

|BF|

=

b2 a

b2 c

=

c

a

=e，符合題意；
③由橢圓的性質(zhì)，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，則

|AO|

|BO|

=

a

a2 c

=

c

a

=e，符合題意；
④由橢圓的性質(zhì)，可得

|AF|

|AB|

=

a-c

a2 c -a

=

c

a

=e，符合題意；
⑤由橢圓的性質(zhì)，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，符合題意．
故答案為：①②③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾個(gè)橢圓中的線段的比值，求與離心率e相等的式子．著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的知識(shí)，屬于中檔題．