(2013•宜賓二模)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分別是AC、AB上的點,且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面A1BC⊥平面A1DC;
(Ⅱ)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的余弦值;
(Ⅲ)當D點在何處時,A1B的長度最小,并求出最小值.
分析:(I)由題意,得DE⊥AD且DE⊥DC,從而DE⊥平面A1DC.結(jié)合DE∥BC,得BC⊥平面A1DC,由面面垂直判定定理即可得到平面A1BC⊥平面A1DC;
(II)以D為原點,DE、DC、DA1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示直角坐標系,可得A1、B、C、E各點的坐標,從而得到向量
BE
A1C
、
CB
的坐標,利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出
m
=(0,2,1)
是平面A1BC的一個法向量,利用向量的夾角公式算出
m
、
BE
的夾角余弦值,即可得到BE與平面A1BC所成角的余弦值;
(III)設CD=x,得A1D=6-x,從而得到A1、B的坐標,由兩點的距離公式得到用x表示|A1B|的式子,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出A1B的長度的最小值.
解答:解:(Ⅰ)在圖1中△ABC中,DE∥BC,AC⊥BC,∴DE⊥AC
由此可得圖2中,DE⊥AD,DE⊥DC,
又∵A1D∩DC=D,∴DE⊥平面A1DC.
∵DE∥BC,∴BC⊥平面A1DC,
又∵BC?平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面A1DC…(4分)
(Ⅱ)由(1)知A1D⊥DE,A1D⊥DC,DC⊥DE,
故以D為原點,DE、DC、DA1分別為x、y、z軸建立直角坐標系.
則E(2,0,0),B(3,2,0),C(0,2,0),A1(0,0,4)
BE
=(-1,-2,0),
A1C
=(0,2,-4),
CB
=(3,0,0)
,
設平面A1BC的一個法向量為
m
=(x,y,z)
,
m
A1C
=2y-4z=0
m
CB
=3x=0
,取y=2可得
m
=(0,2,1)
,
設直線BE與平面A1BC所成角θ,
可得sinθ=|cos<
m
,
BE
>|
=|
-4
5
5
|=
4
5

即直線BE與平面A1BC所成角的余弦值為
3
5
.…(8分)
(Ⅲ)設CD=x,則A1D=6-x,
在(II)的坐標系下,可得B(3,x,0),A1(0,0,6-x),
|A1B|=
9+x2+(6-x)2
=
2x2-12x+45
(0<x<6)
,
∵2x2-12x+45=2(x-3)2+27,∴當x=3時,
2x2-12x+45
的最小值為3
3

由此可得當x=3時,|A1B|最小值為3
3
.…(12分)
點評:本題以平面圖形的折疊為例,求證線面垂直并求直線與平面所成角,著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究線面所成角等知識,屬于中檔題.
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