Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

(2)令，其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得函數(shù)的最大值.(2)由題得，.再求右邊二次函數(shù)的最大值即得.(3)轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，再研究函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)得解.

(1)依題意，知的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

，

令，解得.(∵)

因?yàn)?有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

所以的極大值為，此即為最大值.

(2)，，則有，在上恒成立，

所以，.

當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.

(3)因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解，

所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，

則，令，，

因?yàn)?/span>，，所以(舍去)，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，取最小值.

則，即，

所以，因?yàn)?/span>，所以(*)

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

是增函數(shù)，所以至多有一解，

因?yàn)?/span>，所以方程(*)的解為，即，解得.