Question

【題目】設(shè)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，又f（﹣2）=0，則（x﹣3）f（x）＜0的解集是

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）
【解析】解：∵f（x）是奇函數(shù)，又f（﹣2）=0，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，
∵（x﹣3）f（x）＜0，
∴（I）當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）＜0，
由于f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴x＞3時(shí)，f（x）＜0成立；
（II）當(dāng)x＜3時(shí)，有f（x）＞0，
由于f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
又f（2）=0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f（x）＜0，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，有（x﹣3）f（x）＜0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，
又f（﹣2）=0，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f（x）＜0．
∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，有（x﹣3）f（x）＜0．
綜上可得，（x﹣3）f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）．
所以答案是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．