Question

如圖，已知橢圓C：的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，得a=2，，由此能求出橢圓C的方程．
（2）法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），設(shè)y₁＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上，故．由T（-2，0），知=，由此能求出圓T的方程．
法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），設(shè)sinθ＞0，由T（-2，0），得=，由此能求出圓T的方程．
（3）法一：設(shè)P（x，y），則直線MP的方程為：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值． 
法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為：，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．
解答：解：（1）依題意，得a=2，，
∴c=，b==1，
故橢圓C的方程為．…（3分）
（2）方法一：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以．     （*）          …（4分）
由已知T（-2，0），則，，
∴
=（x₁+2）²-
=
=．…（6分）
由于-2＜x₁＜2，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
由（*）式，，故，
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．…（8分）
方法二：點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，
故設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則
=（2cosθ+2）²-sin²θ
=5cos²θ+8cosθ+3
=．…（6分）
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
此時(shí)，
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：． …（8分）
（3）方法一：設(shè)P（x，y），
則直線MP的方程為：，
令y=0，得，
同理：，…（10分）
故      （**） …（11分）
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，
故，，…（12分）
代入（**）式，
得：．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．               …（14分）
方法二：設(shè)M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設(shè)sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
則直線MP的方程為：，
令y=0，得，
同理：，…（12分）
故．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．