Question

10．設橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點與短軸一端點組成一正三角形三個頂點，若焦點到橢圓上點的最大距離為$3\sqrt{3}$，則分別以a，b為實半軸長和虛半軸長，焦點在y軸上的雙曲線標準方程為$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點與短軸一端點組成一正三角形三個頂點，可得b=$\sqrt{3}$c．由焦點到橢圓上點的最大距離為$3\sqrt{3}$，則a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點與短軸一端點組成一正三角形三個頂點，∴b=$\sqrt{3}$c．
由焦點到橢圓上點的最大距離為$3\sqrt{3}$，則a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=12，b=3．
∴焦點在y軸上的雙曲線標準方程為$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．