Question

9．如圖，已知D為以AB為斜邊的Rt△ABC的外接圓O上一點(diǎn)，CE⊥AB，BD交AC，CE的交點(diǎn)分別為F，G，且G為BF中點(diǎn)，
（1）求證：BC=CD；
（2）過點(diǎn)C作圓O的切線交AD延長線于點(diǎn)H，若AB=4，DH=1，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BC，GF=GC，∠GFC=∠GCF，CE⊥AB，∠GCF=∠ABC，從而Rt△ADF∽Rt△ACB，由此能證明BC=CD．
（2）求出∠HDC=∠ABC，∠DCH=∠DAC=∠BAC，從而Rt△CDH∽Rt△ABC，由切割線定理，得HC²=HD•AH=HD（AD+DH），由此能求出AD．

解答 證明：（1）由題意知AB為圓的直徑，則AC⊥BC．
又∵G為BF中點(diǎn)，∴GF=GC，∠GFC=∠GCF．…（2分）
由CE⊥AB，知$∠GCF=\frac{π}{2}-∠CAE$，$∠ABC=\frac{π}{2}-∠CAE$，
∴∠GCF=∠ABC，則Rt△ADF∽Rt△ACB，∴∠DAC=∠BAC，
∴BC=CD，即BC=CD．…（4分）
解：（2）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠HDC=∠ABC，
又∵CH為O的切線，∴∠DCH=∠DAC=∠BAC，…（6分）
∴Rt△CDH∽Rt△ABC，∴$∠DHC=\frac{π}{2}$，且$\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{CD}$．…（7分）
由（1）知BC=CD，且AB=4，DH=1，
∴CD=2，CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$．…（8分）
由切割線定理，得HC²=HD•AH=HD（AD+DH），
即（$\sqrt{3}$）²=1×（1+AD），解得AD=2．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查線段相等的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、切割線定理的合理運(yùn)用．