Question

16．已知向量$\overrightarrow a$=（k，6）與向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，若$\overrightarrow c$=（x，y），（x＞0，且|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影為1，則向量$\overrightarrow c$的坐標(biāo)為（7，4）．

Answer 1

分析 跟姐姐向量垂直的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積求出k=8，根據(jù)向量投影的定義建立方程結(jié)合向量模長(zhǎng)的公式建立方程組進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$=（k，6）與向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=3k-4×6=0，即k=8，
即$\overrightarrow a$=（8，6），$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$=（8+x，6+y），
則向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影為
$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{3（8+x）-4（6+y）}{5}$=1，
即3x-4y=5，即y=$\frac{3x-5}{4}$
∵|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{65}}）$，
即x²+y²=65，②
將y=$\frac{3x-5}{4}$代入x²+y²=65得x²+（$\frac{3x-5}{4}$）²=65
整理得5x²-6x-203=0，
得x=7或x=-$\frac{29}{5}$（舍），
此時(shí)y=4，
即向量$\overrightarrow c$的坐標(biāo)為（7，4），
故答案為：（7，4）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量坐標(biāo)的求解，根據(jù)向量垂直和向量投影的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量比較大．