Question

17．2014年第二屆夏季青年奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將在中國(guó)南京舉行，為了迎接這一盛會(huì)，某公司計(jì)劃推出系列產(chǎn)品，其中一種是寫(xiě)有“青奧吉祥數(shù)”的卡片．若設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，定義使log₂a_k為整數(shù)的實(shí)數(shù)k為“青奧吉祥數(shù)”，則在區(qū)間[1，2014]內(nèi)的所有“青奧吉祥數(shù)之和”為2047．

Answer 1

分析 正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，可得${a}_{n}=\frac{1}{n}$，log₂a_k=$lo{g}_{2}\frac{1}{k}$=-log₂k=m∈Z，k=2^-m∈[1，2014]，解得m=0，-1，-2，…，-10．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，
∴（na_n-1）[（n+1）a_n+1]=0，∴${a}_{n}=\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)og₂a_k=$lo{g}_{2}\frac{1}{k}$=-log₂k=m∈Z，k=2^-m∈[1，2014]，解得m=0，-1，-2，…，-10．
∴在區(qū)間[1，2014]內(nèi)的所有“青奧吉祥數(shù)之和”S=2°+2¹+2²+…+2¹⁰=$\frac{{2}^{11}-1}{2-1}$=2047．
故答案為：2047．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．