Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），其圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，且過點（$\frac{π}{6}，\frac{1}{2}$）．
（I）求ω和φ的值；
（II）求函數(shù)y=f（2x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （I）將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和已知坐標(biāo)，即可求函數(shù)ω和φ的值；
（II）求出函數(shù)y=f（2x）的解析式，根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出函數(shù)y=f（2x）的范圍，在求其范圍內(nèi)的最大值和最小值，即可得到值域．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ-$\frac{1}{2}$sinφ
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+sinφ（cos²ωx-$\frac{1}{2}$）
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+$\frac{1}{2}$cos2ωxsinφ
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2ωx+φ），
（I）∵圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，∴T=2π，
又∵T=$\frac{2π}{|2ω|}$，∴ω=$±\frac{1}{2}$，
圖象過點（$\frac{π}{6}，\frac{1}{2}$），∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（±1×$\frac{π}{6}$+φ），
解得：$φ=\frac{π}{3}或φ=\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$）或f（x）=$\frac{1}{2}$sin（-x+$\frac{2π}{3}$）；
（Ⅱ）∵y=f（2x），
∴y=f（2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），【注意：只需要一個解析式即可，其實兩個解析式化簡是一樣的】
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時，y取得最大值，即${y}_{max}=\frac{1}{2}sin\frac{π}{2}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)$x=\frac{4π}{3}$時，y取得最小值，即${y}_{min}=\frac{1}{2}sin\frac{4π}{3}=\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以函數(shù)y=f（2x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域為$[-\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡能力和計算能力，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．