Question

函數f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為

 

．

Answer 1

分析：求出函數的導數，研究函數在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調性，確定出函數最值，代入求出函數最值即可

解答：解：∵f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）=

2

2

e^xsin（x+

π

4

）
∴f'（x）=

2

2

e^xsin（x+

π

4

）+

2

2

e^xcos（x+

π

4

）=e^xsin（x+

π

2

）=e^xcosx
在區(qū)間[0，

π

2

]上f'（x）=e^xcosx≥0
故函數f（x）=

1

2

e^x（sinx+cosx）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為[f（0），f（

π

2

）]=[

1

2

，

1

2

e

π

2

]
故答案為[

1

2

，

1

2

e

π

2

]

點評：本題考查用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數在閉區(qū)間上的值域，是導數應用中的基本題型．