分析 (Ⅰ)設(shè)AB=x.由△ABC是等邊三角形,可求∠ABC的值,利用三角形面積公式可得x2+2x-24=0,進而解得AB的值.
(Ⅱ)由余弦定理可求AD的值,進而利用正弦定理可求sin∠CAD的值.
解答 (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)AB=x.
因為△ABC是等邊三角形,
所以$∠ABC=\frac{π}{3}$.
因為${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•BDsin∠ABC$,
所以$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}x(x+2)×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
即x2+2x-24=0.
所以x=4,x=-6(舍).
所以AB=4.…(6分)
(Ⅱ)因為AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABC,
所以$A{D^2}=16+36-2×4×6×\frac{1}{2}=28$.
所以$AD=2\sqrt{7}$.
在△ACD中,
因為$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$,
所以$sin∠CAD=\frac{CD•sin∠ACD}{AD}=\frac{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$.…(13分)
點評 本題主要考查了三角形面積公式,余弦定理,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | 1 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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A. | $\sqrt{3}-1$ | B. | $\sqrt{3}+1$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}+1$或$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ |
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A. | $(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{1}{4}),k∈Z$ | B. | $(2k+\frac{1}{2},2k+\frac{5}{2}),k∈Z$ | ||
C. | $(4k-\frac{1}{4},4k+\frac{1}{4}),k∈Z$ | D. | $(4k+\frac{1}{4},4k+\frac{15}{4}),k∈Z$ |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 8 | D. | 16 |
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A. | 內(nèi)切 | B. | 相交 | C. | 外切 | D. | 相離 |
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A. | 2 | B. | ±2 | C. | 8 | D. | $\frac{1}{8}$ |
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