Question

17．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份x	2006	2008	2010	2012	2014
需求量y（萬噸）	240	255	260	265	280

（Ⅰ）求出線性相關(guān)系數(shù)r，并進行相關(guān)性檢驗；
（Ⅱ）如果x，y線性相關(guān)，利用所給數(shù)據(jù)求x，y之間的回歸直線方程$y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求出的直線方程預(yù)測該地2015年的糧食需求量．
（參考公式：線性回歸方程系數(shù)公式$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，
線性相關(guān)系數(shù)公式$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sqrt{（\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}）（\sum_{i=1}^n{{y_i}^2-n{{\overline y}^2}}）}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sqrt{（\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}）（\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}）}}}}}$，
相關(guān)性檢驗臨界值表：

P（K2≥k0）	小概率
	0.05	0.01
k0	0.878	0.959

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)利用最小二乘法．公式計算得r，查表得r_0.01=0.959，最后得出需求量與年份兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅱ）寫出線性回歸方程的系數(shù)和a的值，寫出線性回歸方程，注意運算過程中不要出錯；
（Ⅲ）將x=2015代入可預(yù)測該地2015年的糧食需求量．

解答 解：（Ⅰ）由已知中的數(shù)據(jù)可得：$\overline{x}$=2010，$\overline{y}$=260，
故r=$\frac{\sum _{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{（\sum _{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}）（\sum _{i=1}^{5}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}）}}$=$\frac{180}{10\sqrt{340}}$≈0.976；
查表得r_0.01=0.959，
∵0.976＞0.959，
∴需求量與年份兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅱ）由已知中的數(shù)據(jù)可得：$\widehat=\frac{\sum _{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{5}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{180}{40}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$=260-2010×$\frac{9}{2}$=-8785，
∴x，y之間的回歸直線方程$\hat{y}$=$\frac{9}{2}$x-8785，
（Ⅲ）由（Ⅱ）中$\hat{y}$=$\frac{9}{2}$x-8785得：
當x=2015時，$\hat{y}$=282.5，
即預(yù)測該地2015年的糧食需求量約為282.5萬噸．

點評 本題考查線性回歸方程，是一個中檔題，解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數(shù)，注意解題的運算過程不要出錯．