Question

7．k為何值時(shí)，不等式0＜$\frac{3{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}-x+1}$≤6對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．

Answer 1

分析 注意到所給的不等式分母為正，因此可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，借助于二次函數(shù)的知識(shí)由判別式小于0，解二次不等式不難解決．

解答 解：不等式0＜$\frac{3{x}^{2}+kx+6}{{x}^{2}-x+1}$≤6對(duì)?x∈R恒成立，
結(jié)合x(chóng)²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
故原式可化為3x²+kx+6＞0且3x²-（k+6）x≥0對(duì)一切x∈R恒成立．
則只需△₁=k²-4×3×6＜0且△₂=（k+6）²≤0．
則k+6=0，即k=-6．
即有k=-6時(shí)，原不等式恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題充分注意到分母大于零恒成立，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的恒成立問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．