Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

3

4

π，

3

4

π]時，求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），令f′（x）＞0，解不等式，從而求出函數(shù)的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在（0，

π

2

）（k∈Z）遞增；令f′（x）＜0，求出f（x）在[-

3

4

π，0），（

π

2

，

3

4

π]遞減，進而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：2kπ＜x＜2kπ+

π

2

，（k∈Z），
∴f（x）在（2kπ，2kπ+

π

2

）（k∈Z）遞增；
（Ⅱ）：由（Ⅰ）得：
f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
f（x）在（0，

π

2

）（k∈Z）遞增；
令f′（x）＜0，解得：-

3

4

π≤x＜0，或

π

2

＜x≤

3

4

π，
∴f（x）在[-

3

4

π，0），（

π

2

，

3

4

π]遞減，
又∵f（-

3

4

π）=（-

2

2

-）e-

3

4

π＜0，
f（

π

2

）=0，f（0）=-1，
f（

3

4

π）=（

2

2

-1）e

3

4

π＜-1，
∴f（x）_max=0，f（x）_min=（

2

2

-1）e

3

4

π．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．