Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且{a_n}、{b_n}滿足條件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（1）求公差d的值；
（2）若對任意的n∈∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范圍；
（3）若a₁=1，令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式能求出d=1．
（2）由公差d=1＞0知數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，由S_n≥S₅最小知S₅是S_n的最小值，由此能求出a₁的取值范圍．
（3）由已知條件得數(shù)列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而得到bn=2•2n-1=2ⁿ，進(jìn)而得到
cn=n•2n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答： （1）解：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由S₄=4a₃-2，得：
4a1+

4×3

2

d=4(a1+2d)-2，
解得d=1．（2分）
（2）解：由公差d=1＞0知數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列
由S_n≥S₅最小知S₅是S_n的最小值
∴

S4≥S5 S6≥ S   5

，∴

a5≤0 a6≥0

．（4分）
即

a1+4≤0 a1+5≥0

，解得：-5≤a₁≤-4
∴a₁的取值范圍是[-5，-4]．（6分）
（3）解：a₁=1時，a_n=1+（n-1）=n
當(dāng)n=1時，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2
當(dāng)n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
化為b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=2•2n-1=2ⁿ，
∴cn=n•2n．（8分）
記數(shù)列{c_n}的前n項和為V_n，則
∴V_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2V_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，（10分）
兩式相減得：-V_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹
=-（n-1）×2^n-1-2，
∴Vn=(n-1)×2n+1+2．（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查數(shù)列的首項的取值范圍的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．