Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求a、b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)．
∴f（0）=0，即$\frac{b-1}{1+a}=0$，得b=1，
則f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-1）+f（1）=0，
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$+$\frac{1-2}{2+a}$=0，
解得a=1．
即a=b=1．
（2）∵a=b=1．
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，則f（x）為減函數(shù)，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）
即t²-2t＞k-2t²恒成立，
即3t²-2t-k＞0恒成立，
則判別式△=4+3×4k＜0，
解得k＜-$\frac{1}{3}$，
即k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔