Question

【題目】如圖，設(shè) 與定點(diǎn) 的距離和它到直線 的距離的比是常數(shù)，

（1）求點(diǎn) 的軌跡曲線 的方程：

（2）過定點(diǎn) 的直線 交曲線 于 兩點(diǎn)，以 三點(diǎn)（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）為頂點(diǎn)作平行四邊形 ,若點(diǎn) 剛好在曲線 上，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;(2) ;

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y），結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得，整理可得曲線C的方程為.

(Ⅱ)很明顯直線斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得，則直線 的方程是.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則據(jù)題意有=，

則3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，

即2x2+3y2=6，∴，

故曲線C的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線l 2的斜率不存在時(shí)，顯然不適合題意；

當(dāng)直線l 2的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l 2的方程：

聯(lián)立方程：，得，

設(shè)，，則，，

即P,又點(diǎn)P剛好在曲線C上，∴

解得：.

所以直線l 2的方程為：