Question

1．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0，f（x）=-x²+x．若不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，轉(zhuǎn)化為log_a$\sqrt{a}$≤log_a$\frac{1}{2}$，分類討論即可．

解答 解：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0，f（x）=-x²+x
∴f（-x）=-f（x），
設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-x²-x，
∴f（x）=x²+x，
∵不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²+x-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²≤log_ax²，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²≤log_a（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴l(xiāng)og_a$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a＞1時，$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{2}$，解得a≤$\frac{1}{4}$，此時無解，
當(dāng)0＜a＜1時，$\sqrt{a}$≥$\frac{1}{2}$，解得a≥$\frac{1}{4}$，此時$\frac{1}{4}$≤a＜1，
綜上所述a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，1）．

點評 本題是恒成立問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，借助于最值求出參數(shù)的范圍．