Question

20．如圖：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．以AB為直徑的⊙O交OC于D，AD的延長(zhǎng)線交BC于E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF交BC于F，連OF．⊙C切⊙O于點(diǎn)D，交BC于G．
（1）求證：OF∥AE．
（2）求$\frac{DE}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）易證RT△OFD≌RT△OFB（HL），由全等三角形的性質(zhì)可得∠FOD=∠FOB，又因?yàn)镺A=OD，所以∠OAD=∠ODA，再由∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，可得∠FOB=∠OAD，進(jìn)而可證明OF∥AE；
（2）連接BD交OF于H，易證AB²=AE•AD，BE²=DE•AE，再由三角形性質(zhì)可得DF：CD=OB：BC=1：2，進(jìn)而可求出DF，BE的值，由DE：AD=BE²：AB²計(jì)算即可．

解答 （1）證明：
∵DF為⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∴∠FDO=90°
又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，
∴在RT△OFD和RT△OFB中，OD=OB，OF=OF，
∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），
∴∠FOD=∠FOB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴∠FOB=∠OAD，
∴OF∥AE．
（2）解：連接BD交OF于H，
∵AB是直徑，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=90°，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△ABE，
∴AB²=AE•AD，
同理可證△BDE∽△ABE，
∴BE²=DE•AE，
∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，
∴△CDF∽△CBO，
∴DF：CD=OB：BC=1：2，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$R，
∵BC是⊙O的切線，
∴DF=BF，
∴DF是△BDE的中線，
∴BE=2DF=（$\sqrt{5}$-1）R，
∴DE：AD=BE²：AB²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．