Question

若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564cm²，則這三個(gè)正方體的體積之和為（ ）
A．764 cm³或586 cm³
B．764 cm³
C．586 cm³或564 cm³
D．586 cm³

Answer 1

【答案】分析：由題意知，若設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，（a＜b＜c）可得a，b，c滿足關(guān)系式a²+b²+c²=94．進(jìn)而可得a，b，c的范圍，又由3c²≥a²+b²+c²=94，則6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐個(gè)驗(yàn)證即得a，b，c的值，進(jìn)而得到這三個(gè)正方體的體積之和．
解答：解：設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為a，b，c，
由題意知，6（a²+b²+c²）=564，即a²+b²+c²=94，
不妨設(shè)1≤a≤b≤c＜10，從而3c²≥a²+b²+c²=94，即c²＞31．
故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．
①若c=9，則a²+b²=94-9²=13，
易知a=2，b=3，得一組解（a，b，c）=（2，3，9）；
②若c=8，則a²+b²=94-64=30，顯然b≤5．但2b²≥30，b≥4，從而b=4或5．
若b=5，則a²=5無(wú)解，若b=4，則a²=14無(wú)解．此時(shí)無(wú)解；
③若c=7，則a²+b²=94-49=45，有唯一解a=3，b=6；
⑤若c=6，則a²+b²=94-36=58，
此時(shí)2b²≥a²+b²=58，b²≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，
此時(shí)a²=58-36=22無(wú)解．
綜上，共有兩組解或
體積為cm³或cm³．
故答案為：A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正方體的表面積、體積，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．