Question

已知關(guān)于x的方程9^x+m·3^x+6=0（其中m∈R）。
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=-5時(shí)，方程即為9^x-5·3^x+6=0，
令3^x=t（t>0），方程可轉(zhuǎn)化為t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，
由3^x=3得x=1，
故原方程的解為1，log₃2。
（2）令3^x=t（t>0）
方程可轉(zhuǎn)化為t²+mt+6=0①
要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，應(yīng)使方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，或者沒有正實(shí)數(shù)根
當(dāng)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根時(shí)，需Δ=m²-24＜0，
解得-2＜m＜2；
當(dāng)方程①?zèng)]有正實(shí)數(shù)根時(shí)，方程有兩個(gè)相等或不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，
這時(shí)應(yīng)有，解得m≥2
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>-2。