Question

若直線y=x+k與曲線x=

1-y2

恰有一個公共點，則k的取值范圍是（　�。�

• A、k=±

  2

• B、[

  2

  ，+∞)∪(-∞，-

  2

  ]
• C、(-

  2

  ，

  2

  )
• D、k=-

  2

  或(-1，1]

Answer 1

分析：把直線和曲線的圖象畫出來，如圖所示，得到曲線為一個半個單位圓，根據直線y=x+k與曲線x=

1-y2

恰有一個公共點由圖象即可求出k的取值范圍．

解答：
解：根據圖象可知：半圓的圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
當直線y=x+k與y軸的交點的縱坐標在（-1，1]時，直線y=x+k與曲線x=

1-y2

恰有一個公共點，
即k∈（-1，1]；
當直線y=x+k與半圓在第四象限相切時，直線y=x+k與曲線x=

1-y2

恰有一個公共點，
所以圓心到直線的距離d=

|k|

2

=1，解得k=

2

（舍去）或k=-

2

，
綜上，k的取值范圍是：k=-

2

或k∈（-1，1]．
故選D

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的關系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．根據題意畫出函數圖象是解本題的關鍵．